《大域微分幾何》全書共三捲。內容主要對象是彎麯的空間，上捲大體是作者多次在臺大數學研究所授課的講稿，以此為基礎，展開中、下両捲，進入大域幾何研究的專業。
這套書三捲分別是「Riemann幾何基礎」、「活動標架法」（moving frames）及「幾何變分學」，涵蓋九大篇，共三十章，並於上捲與下捲加入〈前篇〉及〈衍篇〉各三章，以作為微分幾何「基礎入門」與「延伸進階學習」之用。
下捲「幾何變分學」圍繞著均麯率的幾何，討論二階變分、Plateau與Berstein問題、毛細麯麵、穩定性與凸性問題、值譜分析、Jacobi場、……等幾何分析學關注的焦點；深入當代大域微分幾何一些關鍵性的研究。
最後在〈衍篇〉的延伸閱讀中，加入瞭王藹農教授的〈CMC麯麵及其應用〉、王慕道教授的〈從一個方程式談起〉與林俊吉教授〈麯線與幾何分析〉等三篇survey的文章，提供幾何領域正在發展的某些課題。
本書特色
1.全書以深入淺齣的解說方式，藉由直觀，逐步引入艱深的幾何硏究。
2.問題中心論：內容的鋪陳，經常圍繞著自然的提問。
3.採二維計算方式呈現數學式子的推演，使學習者一目瞭然，容易掌握運算過程。
4.適閤「微分幾何學」進階研究，及天文物理、生化、土木領域之延伸應用。
圖書描述
拓撲學基礎與現代幾何的橋梁：黎曼流形上的幾何分析 本書旨在深入探討黎曼幾何與微分拓撲的交叉領域，重點聚焦於黎曼流形上的幾何分析方法與拓撲不變量的構造。全書內容圍繞著如何利用分析工具，特彆是偏微分方程（PDEs）和變分方法，來研究幾何對象的內在結構和全局拓撲性質展開。我們假定讀者已具備紮實的微分幾何基礎，熟悉黎曼流形上的基本概念，如聯絡、麯率、測地綫和黎曼度量。 第一部分：幾何分析的基礎工具 本部分將首先建立在黎曼流形上進行分析所需的關鍵數學框架。我們將從橢圓算子在黎曼流形上的推廣入手。詳細討論拉普拉斯-貝蒂算子（Laplace-Beltrami operator）的性質，包括其譜理論（Spectrum Theory）。我們將深入剖析該算子在緊黎曼流形上的特徵值問題，及其與流形幾何結構（如體積、測地綫密度）之間的深刻聯係。特彆地，會引入Weyl張量和Yamale方程，探討它們在研究流形共形變形中的作用。 隨後，我們將轉嚮黎曼流形上的熱核估計。這部分內容是理解黎曼流形上全局結構的關鍵。我們將詳細介紹熱核的漸近展開，特彆是關於霍奇-德拉姆理論（Hodge-de Rham theory）的變分觀點。通過分析熱核在小時間或大時間上的行為，我們可以推導齣關於流形拓撲的深層信息，例如體積的Weinstein估計和譜幾何中的基礎結果。 第二部分：幾何結構的穩定性與形變理論 本部分的核心在於研究幾何對象在微小擾動下的穩定性，以及由此引齣的模空間（Moduli Space）的結構。我們將聚焦於共形幾何和愛因斯坦流形的分析理論。 首先，我們將深入探討愛因斯坦方程 ($ ext{Ric} = lambda g$) 在黎曼流形上的解的存在性與唯一性。這涉及到對愛因斯坦-希爾伯特作用量（Einstein-Hilbert action）的變分分析。我們會詳細分析裏奇流（Ricci Flow）——佩雷爾曼提齣的重要演化方程——作為一種“幾何熱方程”來規範化黎曼度量的過程。我們將解釋裏奇流的一般理論，包括其在奇異點處的局部正則性、收縮流與奇異點的分類，以及常麯率截麵（Constant Curvature Cross-sections）的性質。 接著，我們會探討規範場論（Gauge Theory）在微分幾何中的應用，尤其是楊-米爾斯理論（Yang-Mills Theory）。我們將定義規範聯絡和楊-米爾斯作用量，並研究楊-米爾斯方程的解空間——規範模空間。重點將放在西格爾（Seiberg-Witten）不變量的構造上，它利用規範理論的洞察力，成功地解決瞭某些三維和四維流形上的拓撲問題，例如對4-流形上的交點數和辛流形的分析。 第三部分：辛幾何與拓撲的交匯 本部分將視綫投嚮辛流形（Symplectic Manifolds）和卡勒幾何（Kähler Geometry）。我們將探索將黎曼幾何中的分析工具遷移到辛幾何的挑戰與機遇。 我們將從辛形式的性質齣發，介紹劉維爾定理和泊鬆括號。隨後，我們將引入拉格朗日子流形（Lagrangian Submanifolds）的概念，並分析其在辛幾何中的變分原理。 核心內容聚焦於弗洛爾同調（Floer Homology）的構造。我們將解釋如何利用僞全純麯綫（Pseudoholomorphic Curves）——即在辛-凱勒流形上滿足的PDE——來定義辛拓撲中的同調群。這包括對Cauchy-Riemann算子在辛流形上的推廣（如J-絡度量）的詳細討論，以及如何利用 Gromov-Witten 不變量（Gromov-Witten Invariants）來計算特定流形上的麯綫計數。本書將詳細分析這些不變量的虛擬性的構造（Virtual Fundamental Class），這要求讀者掌握切空間的精確綫性化和橫截性的分析技術。 第四部分：非綫性橢圓方程與臨界點理論 最後，我們將迴歸到更一般的非綫性偏微分方程。我們將研究非綫性橢圓方程（Nonlinear Elliptic PDEs）在黎曼流形上的解的存在性、先驗估計和正則性。 重點關注形變函數空間（Spaces of Deformations）上的臨界點理論。我們將應用山路引理（Mountain Pass Lemma）、極小極大原理（Minimax Principle）以及龐加萊-林德洛夫定理的幾何推廣，來尋找作用量泛函的鞍點或極小值點，這些點對應著流形上某些關鍵的幾何結構（如極小麯麵、或者共形類中的特殊度量）。我們將詳細分析泡泡（Bubble）的形成與收縮，這是理解非綫性方程奇異解的關鍵分析工具。 全書的編寫風格力求嚴謹，注重從基本幾何直覺到復雜分析工具的無縫過渡，旨在為讀者提供一套完整的、現代的黎曼幾何分析視角，連接經典幾何與前沿拓撲學。
著者信息
作者簡介
黃武雄
學歷：美國萊斯（Rice）大學數學博士
經歷：國立臺灣大學數學係教授、中央研究院數學所研究員
相關著作：幾何專業研究論文之外，著有通俗數學讀物《初等微分幾何講稿》、《中西數學簡史》、《小樹的鼕天》。
黃武雄
學歷：美國萊斯（Rice）大學數學博士
經歷：國立臺灣大學數學係教授、中央研究院數學所研究員
相關著作：幾何專業研究論文之外，著有通俗數學讀物《初等微分幾何講稿》、《中西數學簡史》、《小樹的鼕天》。
圖書目錄
下捲前言
《大域微分幾何》三捲書二版序
下捲 幾何變分法
篇七 均麯率幾何的基礎
第22章 流形上的變分
第23章 最小麯麵的穩定性
篇八 Plateau與Bernstein問題
第24章 Plateau問題
第25章 Bernstein問題
第26章 Plateau與Bernstein問題
篇九 均麯率方程
第27章 毛細方程與均麯率
第28章 Hopf猜想與Alexandrov對稱法
第29章 Convexity與大凹陷定理
第30章 cmc上的Jacobi場與Morse Index定理
衍篇
CMC麯麵及其應用（王藹農）
從一個方程式談起（王慕道）
麯線與幾何分析（林俊吉）
附錄
全書參考文獻
全書索引
《大域微分幾何》三捲書二版序
下捲 幾何變分法
篇七 均麯率幾何的基礎
第22章 流形上的變分
第23章 最小麯麵的穩定性
篇八 Plateau與Bernstein問題
第24章 Plateau問題
第25章 Bernstein問題
第26章 Plateau與Bernstein問題
篇九 均麯率方程
第27章 毛細方程與均麯率
第28章 Hopf猜想與Alexandrov對稱法
第29章 Convexity與大凹陷定理
第30章 cmc上的Jacobi場與Morse Index定理
衍篇
CMC麯麵及其應用（王藹農）
從一個方程式談起（王慕道）
麯線與幾何分析（林俊吉）
附錄
全書參考文獻
全書索引
圖書試讀
前言
下捲的主題是幾何變分學。含三篇
篇七 均麯率幾何的基礎
篇八 Plateau與Berstein問題
篇九 均麯率方程
共九章，即Ch.22-30。
如前所述，微分幾何處理的主要對象是彎麯的空間。上捲已經建立瞭彎麯空間的基本概念，例如嚮量場的共變微分與麯率張量，並藉由彎麯空間中測地線的變分，來探測彎麯空間大域的幾何性質，例如對正、負麯率空間，分別有Bonnet-Myers定理、與Hadamard定理。
1. 幾何變分學的鋪陳
二十世紀中期之後，幾何分析（Geometric Analysis）成為幾何學研究的主流。
它涵蓋甚廣，活潑、複雜而深刻。幾何變分學隻是其中的一支。我們選幾何變分學作為下捲的主題，主要因為它的提問，自然而有趣。同時它與幾何分析的基礎概念相通。像Hopf最大原理（maximum principle）、比較原理（comparison principle）、流形上的變分、最小麯麵及常均麯率麯麵的穩定性、stability operator的特徵值、絕對最小與calibration、Sobolev函數、值譜定理、…等，都是幾何分析必要的基礎概念。這些全放進瞭書的下捲。
幾何變分學中很多經典的idea與貢獻，則為下捲探討的主題，例如：Laplace的毛細估計、Plateau問題、Bernstein問題、迷人的Hopf猜想、與凸性問題等。
在下捲的開始，即篇七Ch.22、Ch.23兩章，我們談均麯率的一些基礎概念，但同時鋪陳一些自然的問題。例如Ch.22中，談麯麵積的絕對最小、引入calibration、作齣ℝ4中的Plateau解；又從二階變分的計算，證明瞭Barbosa-do Carmo有趣的定理：ℝn+1中的封閉區麵Mn，若均麯率為常數（簡稱cmc = constant mean curvature），而且為穩定（stable），則Mn必為球麵。這個所謂stable sphere theorem，其實是1950-1980年間許多幾何學傢在思考Hopf猜想（Hopf's conjecture）時，分齣去的一條軌跡。
Ch.23也一樣，在探討最小麯麵的穩定性這條自然的脈絡中，我們介紹瞭Jacobi場，Sobolev空間，並證明一般的值譜定理（spectrum theorem）。然後我們以特徵值的估計，證明瞭鼓麵愈大，聲音愈低沉；而且在鼓麵麵積相同的情況下，證明：鼓麵愈對稱，聲音愈低沉。同時，我們把這些有趣的古典分析，與現今的問題相連結。
2. Plateau與Bernstein問題
Plateau問題與Bernstein問題的交會，是1960-70年代幾何界的大事。下捲篇八，三章（Ch.24-26）集中在訴說這個故事。著名的Plateau問題是古典問題，1930年代Jesse Douglas有突破性的進展，他用「三定點手法」成功的控製麵積泛函的minimizing sequence，使其極限成為Plateau solution。我們用Ch.24一整章，完整的敘述他原創性的證明。然後我們進入1960年代之後最小麯麵的極盛時期，細說那時期幾何學界蓬勃綻放的美麗花朵。
Plateau問題的起源，是在答覆這樣的問題：給定ℝ3中的一條封閉麯線，有沒有以這麯線為邊界，而麵積為絕對最小的麯麵（稱為Plateau解）？又如果有解，解麯麵有否奇點？Bernstein問題則為：在ℝ2上全定義的minimal graph（即錶成u=u(x), x ∈ℝ2），是否必為平麵？Bernstein定理就某種意義來說，可以說是一種非線性的Liouville定理。
有趣的是，Plateau解麯麵有沒有奇點，與Bernstein定理對不對，是同一件事。[Ch.25]。如果我們躲進Plateau solution那奇點的無限小鄰域，去看Plateau的解麯麵，我們會看到一個cone（錐麵）。相應的，如果我們跑到無限遠處，迴頭看Bernstein解麯麵，也會看到一個cone。
於是問題轉化成：「在ℝN空間中，除超平麵之外，是不是存在minimal cone？」的問題。亦即：是不是有這樣一個麵積為絕對最小的錐麵（稱之為minimal cone），它不是ℝN-1？若有，則Plateau solution有奇點，Bernstein定理也跟著不對。若沒有，則Plateau solution為regular（沒有奇點），Bernstein定理正確。
這是兩個問題美麗的交會。
3. 意大利學派
藉Ch.25，我們先介紹Bernstein問題的古典背景，亦即在最簡單的ℝ2上考慮minimal graph，並用Chern的觀點，把最小麯麵的metric改造[見Ch.25(12)式]，將問題歸結為Liouville定理。隨後我們進入1960年代最小麯麵論的highlight：James Simons對兩問題交會所做的貢獻；然後用活動標架法估計第二基本式，而得到維數不大於6，不會有平麵之外的minimal cone。藉Ch.26，我們進入意大利學派Bombieri與de Giorgi的世界，引入BV函數（functions of bounded variation），延伸Bernstein定理到7維，建構ℝ8中非平麵的minimal cone S3(1/√2) x S3(1/√2)＄，並給齣8維以上著名而深刻的反例。另外，1970年代Schoen-Simon-Yau直接估算第二基本式，一方麵標誌活動標架法的威力，另一方麵開啟幾何分析的研究，把幾何與分析做緊密而漂亮的結閤，這工作也放在Ch.26，作為篇八的結束。
4. 毛細液麵
篇九從Young-Laplace-Gauss對毛細液麵的貢獻談起。1805年Thomas Young導齣：液麵的內外壓力差為均麯率（mean curvature）的常數倍[Ch.27(01)式]。同時，Laplace觀察到：液麵的均麯率，與液柱的高度成正比[Ch.27(4)式]。他們的工作開啟瞭毛細液麵與均麯率的研究。我們知道在無重力的狀態下，毛細液麵的均麯率必為常數，亦即必為cmc（常均麯率麯麵）。
對於Young-Laplace方程[Ch.27，(04)及(05)兩式]，Gauss用虛功原理（virtual work）加以證明，打開變分學的一頁。在Ch.27，我們用現代語言重新詮釋這些，並建立普遍的理論架構，據此深入毛細液麵（包含cmc）及相關麯麵的探討。
毛細現象有很多有趣的問題，例如一棵樹為什麼可以把土壤裡的水分吸到樹頂？根據早先Laplace的計算，以現有導管的粗細，毛細現象最高隻能把水分吸到＄10＄英尺[Ch.27(31)式]。但很多樹都遠高於10英尺。植物學者認為原因是：葉麵水分蒸發具有真空吸力的效果。可是很多溫帶的大樹，鼕天葉子都掉光，地裡的水分如何被吸到樹頂？使的樹木存活？Robert Finn給齣瞭答案：因為樹幹中導管的橫截麵，實際上不是圓形（如Laplace所假設），而是偏嚮六角形。秘密就在那些角，當角夠小時，毛細液麵會以1⁄r的速率爬升。
這樣的例子揭示我們必須正視毛細液麵的複雜性。接連很多問題都與毛細液麵的幾何有關。
當重力越小，管壁對液麵分子的吸附力（或排斥力）的影響越大，液麵越變化多端。尤其當重力越小時，液麵的幾何越豐富。例如有趣的凸性問題，見Finn-Korevaar [Ch.27，定理4]與Chen-Huang [Ch.27，定理5、6}]。
又例如一個封閉的容器，裡麵除瞭留有一些空隙之外，幾乎注滿水，把容器拿到太空中，這時空隙會變成什麼樣子？是不是一個球狀？答案是對的（當然也可能是n個球狀）。理由是：這時空隙的邊界是常均麯率的液麵。Alexandrov在1956年證明任何一個安裝（embedded，或譯為鑲映）於ℝn+1中的n維封閉麯麵Mn，若均麯率定常（即cmc），則必為球狀[Ch.28，定理2]。
但embedding這個拓樸條件是否必要？例如：假定（cmc的）Mn不限定embed（鑲映），而隻知immersed（浸映）於ℝn+1中呢？這就是著名的Hopf猜想（conjecture）。Hopf自己證明瞭：M2若與球麵S2同胚，則浸映的cmc M2隻能是標準球麵。然後是一些有趣的努力：例如前述Barbosa-do Carmo [Ch.21]的穩定球定理，與項武義（Wu-Yi Hsiang）四維空間ℝ4中的反例。1983年，Wente終於證明瞭Hopf猜想不對：在ℝ3中存在很多cmc環麵的反例。
篇九前兩章[Ch.27-28]，把Hopf's differential與Alexandrov的對稱化方法分別做瞭介紹，並得齣他們的定理。在衍篇中，我們附上王藹農簡介Wente環麵的幾何。
5. cmc的幾何
篇九的後兩章（Ch.29-30），與本書作者的工作有關，例如：凸性問題、大凹陷定理與Jacobi場的分佈。
1950-1983年間，幾何學傢會支持Hopf猜想，其直覺的理由是：cmc封閉麯麵＄M＄似乎不能有凹陷（指Gauss麯率為負的地方）。如果這個直覺是對的，那麼由Hadamard定理，M必然圍齣一個convex body，亦即M鑲映於ℝ3中，因此根據Alexandrov定理，M必為球形。
Wente的眾多反例，告訴我們上述的直覺是錯的：M確實有凹陷。Huang-Lin（我與林俊吉）的大凹陷定理，在釐清上述直覺成立的範圍。它說，如果範圍不大，cmc封閉麯麵確實不能有凹陷。換句話說，它若有凹陷，凹陷的範圍必須很大，至少包含一個extremal domain。
任何一個domain都可以一直拓廣到成為extremal [即λ1(M)=0，見Ch.29，§2]，extremal domain是相當大的麵域，例如M中的一塊麵域，若為non-parametric（即可以錶成u=u(x), x ∈ℝ2時），它都比extremal domain小。可見cmc麯麵凹陷的範圍很大。大凹陷定理的證明，也支持早先我對凸性問題的主張：1970-80年代Brascamp-Lieb、Caffarelli-Friedman、Finn、Korevaar、Chen-Huang、Shih等人處理的凸性問題，關鍵在於：問題是不是well-posed？
亦即，當我們期望在凸區域（convex domain）上的任何一個橢圓方程解，本身也是convex時，邊界條件不能加在零階（Dirichlet），或一階（capillary或Neumann），而應加在二階[Ch.29，§1]。
另外，在cmc麯麵上的一個domain D(t)隨著時間t，從一個點鄰近的小小範圍連續加大，記成{D(t), 0≤t
在篇九Ch.30，亦即，在本書的最後一章，我們把這問題與Morse index定理連結起來，一如在測地線的情況一樣（最簡單的一維測地線，現在變成二維以上的cmc麯麵）。本章的主要結果是：介於＄D[λk-1=0]與＄D[λk=0]之間，必有非零的Jacobi場齣現過，而且其重數（multiplicity）可以控製。[Ch.30}，Thm.8]。
這問題遠比測地線上的Jacobi場的分佈複雜，因場域不再是一維的測地線，而是高維的麯麵，況且是有體積製限（volume constraint）的cmc麯麵。勻滑的C∞-手法，不適閤應付這問題。我們必須把C∞-架構提升為Sovolev架構。Ch.23曾經考慮Sobolev函數空間，據此證明值譜分析定理。現在我們必須縝密的經營Sobolev的理論，看到它生動而成功的解決C∞-架構中自然的提問，纔知Sobolev理論的精緻。為瞭這項工作，我又耗掉一年多的時間研究並寫完第30章。
6. 衍篇
2015年開始寫篇九時，我邀請王慕道、王藹農、林俊吉三位同行，各寫一篇survey之類的文章，放在書末，稱為衍篇。目的在讓讀者在讀完本書之後，看到幾何研究正在發展的一些新方嚮。
不久我接到三篇完稿。很高興他們的論點與本書準備的基礎知識，不隻搭配得很好，更有畫龍點睛之妙。我畫龍，他們點睛。
例如：書中各章反覆利用第二變分式，處理許多問題。王慕道在〈從一個方程式談起〉一文中，選擇第二變分式，並點齣這式子的神髓：把它與Perelman的工作、與Schoen-Yau的正質量定理，關連起來。另外，他又說明第二變分式在相對論中所扮演的角色，指齣它如何鋪陳Penrose-Hawking的奇點定理。王慕道的短文，帶領讀者看到自然深層，看到近年這些重要的工作，存在著某種有趣的連結。
王藹農所寫的survey，也提供第三隻眼睛，重看近代微分幾何的發展，他把似乎零星的一些結果，串連在一起，包括Herman Weyl經典的embedding定理、Nirenberg、Chern、Choi-Wang（崔炯仁-王譪農）、⋯的人的工作。有很多地方，他也扣閤著一些與我相關的工作。例如，他用簡練的文字，詮釋大凹陷定理：同時，他把Henry Wente著名的反例，給予幾何的描述，讓人易於瞭解。這是我書中該做而沒做的事。
林俊吉所談〈麯線與幾何分析〉，是一個正在開展而處處未知的領域，其中很多概念都還有待定義。1980年代我曾注意到DNA本身的動力問題，並到生化所演講。DNA的性狀，鬆坦或糾結，與它的活性，亦即它影響生物體的強度有關。數學上的彈性桿（elastic rods）正是DNA的原始力學模型。
林俊吉在文中介紹彈性桿的精確定義，並分析當前相應的發展。文中他更從微分幾何的觀點，申論Möbious bands與幾何扭結（geometric knots，即在拓撲扭結上加尺度結構）。這些研究都處在開創階段，充滿活力。林俊吉的survey，從界定問題的睏難齣發，讓我們看到第一線研究各種嘗試的利弊，非常有趣而深具啟發，值得年輕的研究者投入。
非常感謝三位同行分別為本書的衍篇撰文，替這部書生色不少，也為這部書的讀者，打開多麵窗。這正是當初我邀他們撰稿的目的。他們的撰文，讓這本書鋪陳的內容，活瞭起來。
二版序
《大域微分幾何》三捲書二版序（摘錄）
1、
這三捲書去年初版。齣乎意料的，不到一年半已幾乎售罄。去年初版成書後不久，我便發覺有幾處校對上的疏忽。另外，下捲最後一章（即ch.30）的最後一個式子，因論證大意而有漏洞。慚愧之餘，我一直期待再版時，能有機會修正。
雖然有瞭這些瑕疵，但齣書以來，我收到一些數學傢的正麵迴饋，則感到欣喜。例如美國Purdue大學莫宗堅教授、史丹佛Stanford大學兼中研院劉太平教授，透過信件或電話告訴我，他們閲讀時的感想。颱大蔡宜洵教授更細心的讀完終捲，寫下深刻感人的書評，發錶在《中華民國數學會電子報》；這份書評的紙本，亦將在中研院《數學傳播》季刊全文刊登。
另外，感謝張海潮、王藹農、王立中教授指齣篇一第4章「麯麵論基本定理」的證明，有個gap，並做瞭補正，其間細微之辨，非常有趣。我在現今這個二版的上捲書末，增添兩頁附錄，放入他們的補正。
2、
初版時，我在引言中談到1978年我齣版過的小書《初等微分幾何講稿》（以下簡稱為「小書」）。這本小書適閤大學部初讀者的水準。許多這一代颱灣的數學傢，年輕時都讀過這本小書。如今他們已步入中年，多次嚮我提起小書對他們大學時代的影響。
今年初，在新迪齣版社友人石飛益的贊助之下，這本小書重新修訂齣版。
目前《大域微分幾何》這三捲書（以下稱為「大書」），可以看成是小書的續集，初版或二版不拘。也就是說，小書是大書的先修本。
但大書上捲的前篇章A〈大域麯麵論概要〉則是小書的濃縮版。數學程度成熟的專業者可以跳過小書，直接讀大書。兩書一小一大，相輔相成，從大學部的水準，一直深入微分幾何專業研究的領域。
中研院鄭日新、颱大李瑩英、師大林俊吉三位教授，原本計劃要在今年8月7日，為大書舉辦「新書發錶會/暨cmc麯麵研討會」；同時也迴顧他們年輕時走嚮幾何的經驗。惜因疫情起伏不定而作罷。
我在今年初的《數學傳播季刊》中，寫瞭一篇長文，説明大書與小書內容的連結。這篇長文也作為前言，放在重新齣版的小書中。
3、
眼前這套大書的再版（即現今這二版），上、中兩捲除瞭修正幾處typos（校對誤差）之外，幾乎沒什麼更動。下捲亦然，真正大幅更動的是最後一章（ch30）。我把它重新改寫，因為在彌補前述的漏洞時，我們的研究工作又有新的進展。
這章主題是處理cmc麯麵（hypersurface ）上domain D(t)的動態變形，考慮其上Jacobi場隨著t，而離散齣現的分佈情狀。
我們引入Morse index定理，來處理這問題。關鍵便落在stability operator的特徵值是否連續。我們處理的domain D(t)是睏難的廣義Lipschitz domain，並且容許它們的topological type可以隨t而改變。如此D(t)纔能伸嚮大域，使其樣態多變。
但這樣一來，問題便艱钜得多，而且論證也變得深刻。穿越睏難，像走入麯摺迂迴的甬道，暗黑而多次碰壁。經過半年多艱辛的努力，我們終於看到曙光，解決瞭問題，得到完整的結果。
這章（ch30）的改寫，是二版修訂真正的重點。
下捲的主題是幾何變分學。含三篇
篇七 均麯率幾何的基礎
篇八 Plateau與Berstein問題
篇九 均麯率方程
共九章，即Ch.22-30。
如前所述，微分幾何處理的主要對象是彎麯的空間。上捲已經建立瞭彎麯空間的基本概念，例如嚮量場的共變微分與麯率張量，並藉由彎麯空間中測地線的變分，來探測彎麯空間大域的幾何性質，例如對正、負麯率空間，分別有Bonnet-Myers定理、與Hadamard定理。
1. 幾何變分學的鋪陳
二十世紀中期之後，幾何分析（Geometric Analysis）成為幾何學研究的主流。
它涵蓋甚廣，活潑、複雜而深刻。幾何變分學隻是其中的一支。我們選幾何變分學作為下捲的主題，主要因為它的提問，自然而有趣。同時它與幾何分析的基礎概念相通。像Hopf最大原理（maximum principle）、比較原理（comparison principle）、流形上的變分、最小麯麵及常均麯率麯麵的穩定性、stability operator的特徵值、絕對最小與calibration、Sobolev函數、值譜定理、…等，都是幾何分析必要的基礎概念。這些全放進瞭書的下捲。
幾何變分學中很多經典的idea與貢獻，則為下捲探討的主題，例如：Laplace的毛細估計、Plateau問題、Bernstein問題、迷人的Hopf猜想、與凸性問題等。
在下捲的開始，即篇七Ch.22、Ch.23兩章，我們談均麯率的一些基礎概念，但同時鋪陳一些自然的問題。例如Ch.22中，談麯麵積的絕對最小、引入calibration、作齣ℝ4中的Plateau解；又從二階變分的計算，證明瞭Barbosa-do Carmo有趣的定理：ℝn+1中的封閉區麵Mn，若均麯率為常數（簡稱cmc = constant mean curvature），而且為穩定（stable），則Mn必為球麵。這個所謂stable sphere theorem，其實是1950-1980年間許多幾何學傢在思考Hopf猜想（Hopf's conjecture）時，分齣去的一條軌跡。
Ch.23也一樣，在探討最小麯麵的穩定性這條自然的脈絡中，我們介紹瞭Jacobi場，Sobolev空間，並證明一般的值譜定理（spectrum theorem）。然後我們以特徵值的估計，證明瞭鼓麵愈大，聲音愈低沉；而且在鼓麵麵積相同的情況下，證明：鼓麵愈對稱，聲音愈低沉。同時，我們把這些有趣的古典分析，與現今的問題相連結。
2. Plateau與Bernstein問題
Plateau問題與Bernstein問題的交會，是1960-70年代幾何界的大事。下捲篇八，三章（Ch.24-26）集中在訴說這個故事。著名的Plateau問題是古典問題，1930年代Jesse Douglas有突破性的進展，他用「三定點手法」成功的控製麵積泛函的minimizing sequence，使其極限成為Plateau solution。我們用Ch.24一整章，完整的敘述他原創性的證明。然後我們進入1960年代之後最小麯麵的極盛時期，細說那時期幾何學界蓬勃綻放的美麗花朵。
Plateau問題的起源，是在答覆這樣的問題：給定ℝ3中的一條封閉麯線，有沒有以這麯線為邊界，而麵積為絕對最小的麯麵（稱為Plateau解）？又如果有解，解麯麵有否奇點？Bernstein問題則為：在ℝ2上全定義的minimal graph（即錶成u=u(x), x ∈ℝ2），是否必為平麵？Bernstein定理就某種意義來說，可以說是一種非線性的Liouville定理。
有趣的是，Plateau解麯麵有沒有奇點，與Bernstein定理對不對，是同一件事。[Ch.25]。如果我們躲進Plateau solution那奇點的無限小鄰域，去看Plateau的解麯麵，我們會看到一個cone（錐麵）。相應的，如果我們跑到無限遠處，迴頭看Bernstein解麯麵，也會看到一個cone。
於是問題轉化成：「在ℝN空間中，除超平麵之外，是不是存在minimal cone？」的問題。亦即：是不是有這樣一個麵積為絕對最小的錐麵（稱之為minimal cone），它不是ℝN-1？若有，則Plateau solution有奇點，Bernstein定理也跟著不對。若沒有，則Plateau solution為regular（沒有奇點），Bernstein定理正確。
這是兩個問題美麗的交會。
3. 意大利學派
藉Ch.25，我們先介紹Bernstein問題的古典背景，亦即在最簡單的ℝ2上考慮minimal graph，並用Chern的觀點，把最小麯麵的metric改造[見Ch.25(12)式]，將問題歸結為Liouville定理。隨後我們進入1960年代最小麯麵論的highlight：James Simons對兩問題交會所做的貢獻；然後用活動標架法估計第二基本式，而得到維數不大於6，不會有平麵之外的minimal cone。藉Ch.26，我們進入意大利學派Bombieri與de Giorgi的世界，引入BV函數（functions of bounded variation），延伸Bernstein定理到7維，建構ℝ8中非平麵的minimal cone S3(1/√2) x S3(1/√2)＄，並給齣8維以上著名而深刻的反例。另外，1970年代Schoen-Simon-Yau直接估算第二基本式，一方麵標誌活動標架法的威力，另一方麵開啟幾何分析的研究，把幾何與分析做緊密而漂亮的結閤，這工作也放在Ch.26，作為篇八的結束。
4. 毛細液麵
篇九從Young-Laplace-Gauss對毛細液麵的貢獻談起。1805年Thomas Young導齣：液麵的內外壓力差為均麯率（mean curvature）的常數倍[Ch.27(01)式]。同時，Laplace觀察到：液麵的均麯率，與液柱的高度成正比[Ch.27(4)式]。他們的工作開啟瞭毛細液麵與均麯率的研究。我們知道在無重力的狀態下，毛細液麵的均麯率必為常數，亦即必為cmc（常均麯率麯麵）。
對於Young-Laplace方程[Ch.27，(04)及(05)兩式]，Gauss用虛功原理（virtual work）加以證明，打開變分學的一頁。在Ch.27，我們用現代語言重新詮釋這些，並建立普遍的理論架構，據此深入毛細液麵（包含cmc）及相關麯麵的探討。
毛細現象有很多有趣的問題，例如一棵樹為什麼可以把土壤裡的水分吸到樹頂？根據早先Laplace的計算，以現有導管的粗細，毛細現象最高隻能把水分吸到＄10＄英尺[Ch.27(31)式]。但很多樹都遠高於10英尺。植物學者認為原因是：葉麵水分蒸發具有真空吸力的效果。可是很多溫帶的大樹，鼕天葉子都掉光，地裡的水分如何被吸到樹頂？使的樹木存活？Robert Finn給齣瞭答案：因為樹幹中導管的橫截麵，實際上不是圓形（如Laplace所假設），而是偏嚮六角形。秘密就在那些角，當角夠小時，毛細液麵會以1⁄r的速率爬升。
這樣的例子揭示我們必須正視毛細液麵的複雜性。接連很多問題都與毛細液麵的幾何有關。
當重力越小，管壁對液麵分子的吸附力（或排斥力）的影響越大，液麵越變化多端。尤其當重力越小時，液麵的幾何越豐富。例如有趣的凸性問題，見Finn-Korevaar [Ch.27，定理4]與Chen-Huang [Ch.27，定理5、6}]。
又例如一個封閉的容器，裡麵除瞭留有一些空隙之外，幾乎注滿水，把容器拿到太空中，這時空隙會變成什麼樣子？是不是一個球狀？答案是對的（當然也可能是n個球狀）。理由是：這時空隙的邊界是常均麯率的液麵。Alexandrov在1956年證明任何一個安裝（embedded，或譯為鑲映）於ℝn+1中的n維封閉麯麵Mn，若均麯率定常（即cmc），則必為球狀[Ch.28，定理2]。
但embedding這個拓樸條件是否必要？例如：假定（cmc的）Mn不限定embed（鑲映），而隻知immersed（浸映）於ℝn+1中呢？這就是著名的Hopf猜想（conjecture）。Hopf自己證明瞭：M2若與球麵S2同胚，則浸映的cmc M2隻能是標準球麵。然後是一些有趣的努力：例如前述Barbosa-do Carmo [Ch.21]的穩定球定理，與項武義（Wu-Yi Hsiang）四維空間ℝ4中的反例。1983年，Wente終於證明瞭Hopf猜想不對：在ℝ3中存在很多cmc環麵的反例。
篇九前兩章[Ch.27-28]，把Hopf's differential與Alexandrov的對稱化方法分別做瞭介紹，並得齣他們的定理。在衍篇中，我們附上王藹農簡介Wente環麵的幾何。
5. cmc的幾何
篇九的後兩章（Ch.29-30），與本書作者的工作有關，例如：凸性問題、大凹陷定理與Jacobi場的分佈。
1950-1983年間，幾何學傢會支持Hopf猜想，其直覺的理由是：cmc封閉麯麵＄M＄似乎不能有凹陷（指Gauss麯率為負的地方）。如果這個直覺是對的，那麼由Hadamard定理，M必然圍齣一個convex body，亦即M鑲映於ℝ3中，因此根據Alexandrov定理，M必為球形。
Wente的眾多反例，告訴我們上述的直覺是錯的：M確實有凹陷。Huang-Lin（我與林俊吉）的大凹陷定理，在釐清上述直覺成立的範圍。它說，如果範圍不大，cmc封閉麯麵確實不能有凹陷。換句話說，它若有凹陷，凹陷的範圍必須很大，至少包含一個extremal domain。
任何一個domain都可以一直拓廣到成為extremal [即λ1(M)=0，見Ch.29，§2]，extremal domain是相當大的麵域，例如M中的一塊麵域，若為non-parametric（即可以錶成u=u(x), x ∈ℝ2時），它都比extremal domain小。可見cmc麯麵凹陷的範圍很大。大凹陷定理的證明，也支持早先我對凸性問題的主張：1970-80年代Brascamp-Lieb、Caffarelli-Friedman、Finn、Korevaar、Chen-Huang、Shih等人處理的凸性問題，關鍵在於：問題是不是well-posed？
亦即，當我們期望在凸區域（convex domain）上的任何一個橢圓方程解，本身也是convex時，邊界條件不能加在零階（Dirichlet），或一階（capillary或Neumann），而應加在二階[Ch.29，§1]。
另外，在cmc麯麵上的一個domain D(t)隨著時間t，從一個點鄰近的小小範圍連續加大，記成{D(t), 0≤t
在篇九Ch.30，亦即，在本書的最後一章，我們把這問題與Morse index定理連結起來，一如在測地線的情況一樣（最簡單的一維測地線，現在變成二維以上的cmc麯麵）。本章的主要結果是：介於＄D[λk-1=0]與＄D[λk=0]之間，必有非零的Jacobi場齣現過，而且其重數（multiplicity）可以控製。[Ch.30}，Thm.8]。
這問題遠比測地線上的Jacobi場的分佈複雜，因場域不再是一維的測地線，而是高維的麯麵，況且是有體積製限（volume constraint）的cmc麯麵。勻滑的C∞-手法，不適閤應付這問題。我們必須把C∞-架構提升為Sovolev架構。Ch.23曾經考慮Sobolev函數空間，據此證明值譜分析定理。現在我們必須縝密的經營Sobolev的理論，看到它生動而成功的解決C∞-架構中自然的提問，纔知Sobolev理論的精緻。為瞭這項工作，我又耗掉一年多的時間研究並寫完第30章。
6. 衍篇
2015年開始寫篇九時，我邀請王慕道、王藹農、林俊吉三位同行，各寫一篇survey之類的文章，放在書末，稱為衍篇。目的在讓讀者在讀完本書之後，看到幾何研究正在發展的一些新方嚮。
不久我接到三篇完稿。很高興他們的論點與本書準備的基礎知識，不隻搭配得很好，更有畫龍點睛之妙。我畫龍，他們點睛。
例如：書中各章反覆利用第二變分式，處理許多問題。王慕道在〈從一個方程式談起〉一文中，選擇第二變分式，並點齣這式子的神髓：把它與Perelman的工作、與Schoen-Yau的正質量定理，關連起來。另外，他又說明第二變分式在相對論中所扮演的角色，指齣它如何鋪陳Penrose-Hawking的奇點定理。王慕道的短文，帶領讀者看到自然深層，看到近年這些重要的工作，存在著某種有趣的連結。
王藹農所寫的survey，也提供第三隻眼睛，重看近代微分幾何的發展，他把似乎零星的一些結果，串連在一起，包括Herman Weyl經典的embedding定理、Nirenberg、Chern、Choi-Wang（崔炯仁-王譪農）、⋯的人的工作。有很多地方，他也扣閤著一些與我相關的工作。例如，他用簡練的文字，詮釋大凹陷定理：同時，他把Henry Wente著名的反例，給予幾何的描述，讓人易於瞭解。這是我書中該做而沒做的事。
林俊吉所談〈麯線與幾何分析〉，是一個正在開展而處處未知的領域，其中很多概念都還有待定義。1980年代我曾注意到DNA本身的動力問題，並到生化所演講。DNA的性狀，鬆坦或糾結，與它的活性，亦即它影響生物體的強度有關。數學上的彈性桿（elastic rods）正是DNA的原始力學模型。
林俊吉在文中介紹彈性桿的精確定義，並分析當前相應的發展。文中他更從微分幾何的觀點，申論Möbious bands與幾何扭結（geometric knots，即在拓撲扭結上加尺度結構）。這些研究都處在開創階段，充滿活力。林俊吉的survey，從界定問題的睏難齣發，讓我們看到第一線研究各種嘗試的利弊，非常有趣而深具啟發，值得年輕的研究者投入。
非常感謝三位同行分別為本書的衍篇撰文，替這部書生色不少，也為這部書的讀者，打開多麵窗。這正是當初我邀他們撰稿的目的。他們的撰文，讓這本書鋪陳的內容，活瞭起來。
二版序
《大域微分幾何》三捲書二版序（摘錄）
1、
這三捲書去年初版。齣乎意料的，不到一年半已幾乎售罄。去年初版成書後不久，我便發覺有幾處校對上的疏忽。另外，下捲最後一章（即ch.30）的最後一個式子，因論證大意而有漏洞。慚愧之餘，我一直期待再版時，能有機會修正。
雖然有瞭這些瑕疵，但齣書以來，我收到一些數學傢的正麵迴饋，則感到欣喜。例如美國Purdue大學莫宗堅教授、史丹佛Stanford大學兼中研院劉太平教授，透過信件或電話告訴我，他們閲讀時的感想。颱大蔡宜洵教授更細心的讀完終捲，寫下深刻感人的書評，發錶在《中華民國數學會電子報》；這份書評的紙本，亦將在中研院《數學傳播》季刊全文刊登。
另外，感謝張海潮、王藹農、王立中教授指齣篇一第4章「麯麵論基本定理」的證明，有個gap，並做瞭補正，其間細微之辨，非常有趣。我在現今這個二版的上捲書末，增添兩頁附錄，放入他們的補正。
2、
初版時，我在引言中談到1978年我齣版過的小書《初等微分幾何講稿》（以下簡稱為「小書」）。這本小書適閤大學部初讀者的水準。許多這一代颱灣的數學傢，年輕時都讀過這本小書。如今他們已步入中年，多次嚮我提起小書對他們大學時代的影響。
今年初，在新迪齣版社友人石飛益的贊助之下，這本小書重新修訂齣版。
目前《大域微分幾何》這三捲書（以下稱為「大書」），可以看成是小書的續集，初版或二版不拘。也就是說，小書是大書的先修本。
但大書上捲的前篇章A〈大域麯麵論概要〉則是小書的濃縮版。數學程度成熟的專業者可以跳過小書，直接讀大書。兩書一小一大，相輔相成，從大學部的水準，一直深入微分幾何專業研究的領域。
中研院鄭日新、颱大李瑩英、師大林俊吉三位教授，原本計劃要在今年8月7日，為大書舉辦「新書發錶會/暨cmc麯麵研討會」；同時也迴顧他們年輕時走嚮幾何的經驗。惜因疫情起伏不定而作罷。
我在今年初的《數學傳播季刊》中，寫瞭一篇長文，説明大書與小書內容的連結。這篇長文也作為前言，放在重新齣版的小書中。
3、
眼前這套大書的再版（即現今這二版），上、中兩捲除瞭修正幾處typos（校對誤差）之外，幾乎沒什麼更動。下捲亦然，真正大幅更動的是最後一章（ch30）。我把它重新改寫，因為在彌補前述的漏洞時，我們的研究工作又有新的進展。
這章主題是處理cmc麯麵（hypersurface ）上domain D(t)的動態變形，考慮其上Jacobi場隨著t，而離散齣現的分佈情狀。
我們引入Morse index定理，來處理這問題。關鍵便落在stability operator的特徵值是否連續。我們處理的domain D(t)是睏難的廣義Lipschitz domain，並且容許它們的topological type可以隨t而改變。如此D(t)纔能伸嚮大域，使其樣態多變。
但這樣一來，問題便艱钜得多，而且論證也變得深刻。穿越睏難，像走入麯摺迂迴的甬道，暗黑而多次碰壁。經過半年多艱辛的努力，我們終於看到曙光，解決瞭問題，得到完整的結果。
這章（ch30）的改寫，是二版修訂真正的重點。
用户评价
评分
說實話，我對這本的閱讀體驗是既興奮又燒腦的，它對讀者的預備知識要求相當高，絕不是那種隨便翻翻就能領會其妙處的入門讀物。我必須承認，在某些涉及到複雜流形上的張量分析和共形變換的部分，我得反覆翻閱前麵的章節，甚至需要暫停下來，對照著其他幾本分析的參考書纔能勉強跟上作者的思路。然而，這種「難」恰恰是它最寶貴的地方。它強迫你去思考：當我們討論一個泛函的穩定性時，在一個彎麯的時空中，我們真正依賴的是什麼？作者在處理穩定性分析時，對於二階變分（也就是黎曼麯率張量的推廣）的討論，簡直是教科書級的範例。那種嚴謹到近乎苛刻的論證風格，讓我對「完美證明」有瞭更深層次的理解。它不是在告訴你答案是什麼，而是在雕塑你如何去建構這個答案的過程，讓人讀完後，會感覺自己的數學功力確實上瞭好幾個層次，那種醍醐灌頂的感覺，遠勝過背誦數十條公式來得深刻。
评分這本《大域微分幾何（下）：幾何變分學（二版）》真的是讓我這個長期鑽研古典數學的愛好者，讀起來有種既熟悉又充滿挑戰的感覺。光是從書名就能感受到它所承載的厚重歷史感，畢竟「幾何變分學」這塊領域，從黎曼、龐加萊那個時代就開始醞釀，多少經典的洞見都藏在裡頭。我特別欣賞作者在處理變分原理時，那種細膩入微的筆觸，完全不是那種隻顧著推導公式的冷硬教科書。它更像是一位經驗豐富的老師，帶著你從最基礎的變分原理齣發，一步步爬升到更高維度、更抽象的結構中去觀察物理現象。特別是在涉及邊界條件和極值問題時，那種對物理直觀的尊重，讓我覺得這本書不隻是數學的工具書，更像是哲學思辨的載體。很多時候，我看著那些複雜的泛函分析，腦中就會浮現齣那個時代的數學傢們，如何憑藉著驚人的直覺，把這些看似無邊無際的空間結構給捕捉下來。這本書成功地將那種跨越時空的對話感，完整地呈現瞭齣來，對於想真正領會幾何本質的人來說，這是無可替代的珍寶。
评分這本書最吸引我，也是最讓我感到與現代研究接軌的部分，在於它對「非線性」和「奇異點」的處理態度。過去很多經典教材在講述變分問題時，往往過於側重在光滑、可微的理想情況下尋找極值，但現實中的物理模型，特別是涉及到拓撲變化的問題，很少是如此溫順的。作者似乎深知這一點，在後麵的章節中，開始引入一些非常現代的工具來探討這些「病態」的邊界情況。我尤其對其中關於極小麯麵存在性問題的討論印象深刻，它不再滿足於單純的局部存在性證明，而是試圖透過能量最小化來推導齣全局的結構。這種從基礎原理齣發，不斷將討論範疇推嚮更複雜、更真實世界的嘗試，是這本「二版」相較於其他版本（或者我過去讀過的舊教材）最顯著的進步。它告訴我們，數學工具的價值，最終還是體現在能否有效描述我們所處的複雜宇宙。
评分從裝幀設計和排版來看，這本書的齣版品質非常值得肯定，尤其對於需要長時間閱讀和反覆查閱的專業書籍而言，這是非常重要的細節。紙張的選用，在處理大量公式和圖形時，提供瞭很好的對比度，減少瞭閱讀疲勞。更讓我驚喜的是，雖然內容是關於極為深奧的數學分支，但作者對於術語的引入和標記的使用，都做到瞭盡可能的一緻性和清晰度。在颱灣的學術環境中，我們常常麵臨不同版本的術語翻譯混亂問題，但這本書在這方麵處理得非常到位，它似乎在努力架起一座橋樑，連接歐美主流的符號係統與本地的學術習慣，讓讀者在麵對國際文獻時，能夠更順暢地切換思維模式。這種對細節的關注，體現瞭齣版方對學術傳承的責任感，讓這本厚重的著作，閱讀起來絲毫不覺得笨重，反而有種精緻的工藝感。
评分整體來說，這本《大域微分幾何（下）：幾何變分學（二版）》已經超越瞭一本標準教科書的範疇，它更像是一部裏程碑式的專著，記錄瞭數十年來，幾何學傢們如何運用變分思維去解構空間結構的歷程。我不會嚮任何非數學專業的讀者推薦它，因為那無疑是一種摺磨；但對於研究生階段，或者已經有紮實微分幾何基礎、渴望深入理解「為什麼」以及「如何保證」的資深研究者來說，這本書的價值是難以估量的。它在嚴謹性與啟發性之間找到瞭難得的平衡點。每一次闔上書本，我都會花點時間整理思緒，因為書中呈現的那些宏偉結構，需要時間消化纔能真正內化為自己的理解。它不僅僅是知識的傳遞，更像是對學術嚴謹性的一種緻敬。我期待未來能看到更多基於此基礎上發展齣來的新研究。
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